Los matemáticos de la Universidad RUDN y el Instituto de Seguridad Nuclear del RAS (NSI RAS) han propuesto un método numérico para resolver ecuaciones que describen la propagación de la luz en un medio. Utilizaron la ecuación eikonal no lineal con condiciones de contorno como base. Tal problema no se puede resolver directamente, por lo que los matemáticos desarrollaron un método numérico, realizaron cálculos y produjeron una imagen del "comportamiento" de tales soluciones. Los resultados podrían convertirse en la base de una teoría integral de soluciones aproximadas de tales ecuaciones diferenciales. El método se puede aplicar en la producción de lentes y cristales ópticos. El artículo fue publicado en el Journal of Computational and Applied Mathematics.
La ecuación eikonal es una ecuación diferencial parcial no lineal. Describe la propagación de la luz en un medio y es necesaria para resolver problemas en óptica. Permite conectar la óptica plana, que se enseña en las escuelas, y la óptica de onda, que se describe mediante ecuaciones complejas.

Es tradicional usar un método basado en la resolución de un gran sistema de ecuaciones no lineales para encontrar una solución numérica (es decir, para obtener una solución aproximada suficientemente precisa) para la ecuación eikonal.

Los matemáticos de la Universidad RUDN y NSI RAS usaron un enfoque diferente, lo que facilita encontrar una solución para la ecuación eikonal no lineal utilizando un método numérico: un cambio de variables con la adición de un parámetro. El cambio da como resultado nuevas ecuaciones que, por un lado, son más simples que las iniciales: el problema se vuelve lineal. Por otro lado, sus soluciones no son las soluciones del sistema original. Sin embargo, a medida que el parámetro disminuye, las soluciones para el nuevo sistema se acercan a las soluciones para el original.

Los matemáticos gradualmente (por un cierto valor fijo) disminuyeron el valor del parámetro agregado y para cada valor resolvieron la ecuación numéricamente. Para cada valor de parámetro posterior, la solución resultante se comparó con las anteriores. A medida que el parámetro disminuía, las soluciones cambiaban cada vez menos, es decir, el resultado de los cálculos se estabilizaba. Resultó que una solución suficientemente estable requiere un valor de parámetro relativamente pequeño. La solución resultante se tomó como una aproximación de la ecuación original.

Los matemáticos han demostrado que tal método produce resultados bastante buenos en problemas representativos del modelo.

"La complejidad computacional, los llamados 'costos computacionales' del enfoque del que estamos hablando, no excede la de otros enfoques. Aunque, resolvemos un problema de valor límite lineal, y eso, por supuesto, es menos laborioso que resolver un problema problema no lineal ", explicó Petr Vabishevich, autor del estudio y miembro del Centro de Investigación de Métodos Computacionales en Matemática Aplicada de la Universidad RUDN.

Vabishevich y sus coautores modelaron la ecuación para los medios anisotrópicos. Desde el punto de vista de la física, este es un entorno en el que las propiedades físicas de la propagación de la luz en diferentes direcciones no son las mismas. Los materiales con estas propiedades ahora se usan ampliamente en dispositivos ópticos.

Además de la óptica, la ecuación eikonal también se usa para resolver numéricamente ecuaciones que describen el movimiento de un fluido. Tal modelado es necesario para crear imágenes realistas en gráficos de computadora; por ejemplo, en la película "Piratas del Caribe", el agua no solo fue dibujada sino calculada a nivel físico. La velocidad de cálculo, que podría mejorarse potencialmente mediante el método desarrollado por matemáticos de la Universidad RUDN y NSI RAS, juega un papel clave en tales casos.